[TRABAJO DE: TECNOLOGIA EDUCATIVA]

ZIHUATANEJO GRO. 2009

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE GUERRERO

ZIHUATANEJO GRO. 2009

UNIDAD ACADEMICA DE MATEMATICAS

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TRABAJO DE: TECNOLOGIA EDUCATIVA

CATECRATICO: LIC. MANUEL FIERROS PEÑALOZA ALUMNA: JAZMIN GALEANA VARGAS

TEMA: FIGURAS GEOMETRICAS

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INDICE

TEMAS	PAG.
Introducción	2
FIGURAS GEOMETRICAS
1. Polígonos	3
1.1 Elementos del polígono	3
1.2 Clasificación de los polígonos	4
2. Cuadriláteros	5
2.1 Clasificación de los cuadriláteros	5
2.1.1 Paralelogramos	5
Cuadrados	6
Rectángulo	7
Rombo	7
Romboide	8
2.1.2 No paralelogramos	8
Trapecio	8
Trapezoide	10
Deltoides	10
3. Triángulos	12
3.1 Propiedades de los triángulos	12
3.2 Clasificación delos triángulos	13
4. Polígono	16
4.1 Hexágono	16
5. Circulo	17
FORMULARIO	18
CONCLUSION	19
BIBLIOGRAFIA	20

INTRODUCCION

Este trabajo fue realizado con el fin de experimentar y conocer más afondo el programa de Word, para que por medio es este podamos utilizarlo con más frecuencia y poner en practica lo ya conocido.

Tocando el punto y refiriéndonos a una forma diferente de enseñar a los alumnos y tomándolo como un método de enseñanza aprendizaje, o material didáctico, nos ayudara a que por medio de la visualización experimentemos y desarrollemos con los alumnos una forma diferente al acostumbrado.

Actualmente existe mucho material didáctico en (INTERNET) de donde poder tomar y adaptar cualquier tema que pudiera servir como guía para el maestro y el alumno.

Con respecto al tema a tratar conoceremos:

Las clasificaciones de los polígonos, los cuadriláteros, los triángulos etc.
Una descripción de cada una de ellas.
formula para obtener el área.
formula para el perímetro de las figuras geométricas básicas.

Y claro finalizar con un formulario básico para reafirmar el tema.

FIGURAS GEOMETRICAS

Una figura geométrica es una superficie plana cuyos elementos son puntos, lados y vértices. Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y volúmenes.

1. Polígonos

Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados. Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.

Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.

1.1 Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
Ángulo interior y ángulo exterior.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

1.2 Clasificación de los polígonos

Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos. Los polígonos se clasifican por el número de sus lados.

Se clasifican por la forma de su contorno:

Polígonos

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:

simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
complejo, si dos de sus aristas consecutivas se intersecan;
convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:

rectilíneo, si todos de sus lados son segmentos rectos,
curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.

Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.

2. Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

2.1 Clasificación de los cuadriláteros

$ Cuadril \acute{a} teros \begin{cases} Paralelogramos \begin{cases} Rect \acute{a} ngulos \begin{cases} Cuadrado \\ Rect \acute{a} ngulo \end{cases} \\ No \; rect \acute{a} ngulos \begin{cases} Rombo \\ Romboide \end{cases} \end{cases} \\ No \; paralelogramos \begin{cases} Trapecios \begin{cases} Trapecio \\ Trapezoide \end{cases} \\ Deltoide \end{cases} \\ \end{cases} $

2.1.1 Paralelogramo

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Los paralelogramos tienen las siguientes propiedades:

En todo paralelogramo los ángulos y lados opuestos son iguales.
Tienen dos pares de lados opuestos paralelos
Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios (suman 180º).

Los paralelogramos se clasifican en:

Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen

el cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud, y
el rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud;

Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:

el rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y
el romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud

1. Cuadrado

Cuadrado geométrico

En geometría euclidiana, un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó π / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360º ó 2π radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270º ó 3π / 2 radianes.

Cuadrado algebraico

En álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n x n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado y se representa por n².
Un número elevado al cuadrado se puede linealizar por medio de la siguiente función: $\sum_{i=1}^n{((2i)-1)}$ donde n pertenece a los números Naturales

2. Rectángulo

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.

El perímetro, L, de un rectángulo de base b y altura h es:

L = 2b + 2h

La superficie, S, de un rectángulo de base b y altura h es:

S = b h

El cuerpo de revolución generado por un rectángulo, respecto de un eje que contenga a un lado, es un cilindro.

Rectángulos con nombre propio

El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud.
El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

3. Rombo

El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son iguales en longitud y son paralelos dos a dos. El cuadrado es un caso particular de rombo

Área del Rombo

El área del rombo se halla mediante la multiplicación de sus diagonales (diagonal mayor por diagonal menor) y dividiendo entre dos el resultado:

a=D*d/2

O también se puede calcular como A = b * h; siendo b= base, h=altura del rombo.

4. Romboide

Se denomina romboide al paralelogramo cuyos ángulos tienen la misma amplitud que el ángulo opuesto. La longitud de sus lados es la misma del lado opuesto.

Un romboide posee las siguientes características:

Sus lados son paralelos dos a dos.
Cada uno de sus lados tiene la misma longitud que el lado opuesto.
Cada uno de sus ángulos tiene la misma amplitud que el ángulo opuesto.
Cada par de ángulos contiguos está formado por dos ángulos suplementarios.
Sus diagonales se cortan en sus puntos medios.

Como no es ni rombo ni rectángulo, sus diagonales nunca forman ángulos rectos y nunca tienen la misma medida.

Perímetro y área

El perímetro de un romboide es igual a $2 \cdot (a + b) \,$ (siendo a y b la longitud de dos lados contiguos).

Su área se obtiene multiplicando la longitud de un lado por la distancia perpendicular entre ese lado y su opuesto (h).

2.1.2 No Paralelogramo

1. Trapecio

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.

Tipos de trapecios

Los trapecios, respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:

Trapecio rectángulo o recto es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.

Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.

Trapecio isósceles el que posee los lados no paralelos de igual medida.

Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.

Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo.

Tiene los cuatro ángulos internos de diferente amplitud.

Características de un trapecio

La longitud de la mediana (m) de un trapecio es igual a la semisuma de la longitud sus bases (a c).

$\ m = \frac {a+c}{2}$

En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base de tienen la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios. Las diagonales son de igual longitud.

Cálculo de la altura de un trapecio

La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a c) y de los dos lados (b d), mediante la siguiente ecuación:

$h=\frac {\sqrt{4(a-c)^2d^2 -[d^2+(a-c)^2-b^2]^2}}{2(a-c)}$

En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.

Área de un trapecio

El área A de un trapecio de bases a y c y altura h es:

$A=\frac{h(a+c)}{2}$

Es decir, la semisuma de las dos bases multiplicada por la altura del trapecio.

Cuando sólo se conocen las longitudes de los cuatro lados, denominados a, b, c, d, el área se calculará así:

$A=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}$

donde a es la medida del lado de mayor longitud y c es el lado menor, para que tanto el denominador, como el valor de la raíz, sean números enteros positivos.

También puedes sacar los dos triángulos (A1 Y A2) y sumarlas y te dará el área sino quieres usar la formula del trapecio.

2. Trapezoide

Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.

El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360º. Los trapezoides pueden ser inscriptibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo, puede ser circunscriptible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí por eso no son paralelogramos

3. Deltoide

En geometría, un deltoide es un cuadrilátero no regular cuyas diagonales se cortan formando un ángulo recto y por consiguente su área es igual al semiproducto de las diagonales, esto es A= (d1)*(d2)/2.

También se denomina trapezoide biisósceles.

Como todo cuadrilátero cuya diagonal (una de ellas por lo menos) es el eje de simetría, es circunscriptible, lo que implica que tiene dos pares de lados contiguos iguales y los ángulos opuestos a la diagonal eje de simetría también iguales.

Si el deltoide es inscriptible, tiene el par de ángulos iguales rectos, y su circunferencia circunscrita tiene el centro en el punto medio de su diagonal mayor

3. Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

3.1 Propiedades de los triángulos

Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana.[1]

La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

$\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}$

El teorema de Pitágoras gráficamente.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

$a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

3.2 Clasificación de los triángulos

Por la longitud de sus lados se clasifican en:

Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó $\pi/3\,$ radianes.) Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior recto (90°).

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Triángulo equiángulo: suele llamarse Triángulo equilátero clasificándolo según sus lados, puesto que si sus lados son iguales, sus ángulos también lo serán, y medirán 60º.


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

4. Polígono

4.1 Hexágono regular

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

Angulos internos son congruentes midiendo 120º ó 2π / 3 rad.
Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60º ó π / 3 rad.
Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:

Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
Numérense los vértices de 1 a 6 siguiendo las agujas del reloj. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.

Se puede teselar el plano con hexágonos sin dejar ningún hueco.

Al multiplicar la longitud t de un lado de un hexágono regular por seis (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su perímetro P.

$P = n\cdot t = 6\ t$

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

$A = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{6t\cdot a}{2} = 3t \cdot a$

Si sólo conocemos el lado t, podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}t^2$

donde π es la constante pi y tan es la función tangente calculada en radianes.

5. Circulo

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad

FORMULARIO

FIGURA GEOMETRICA

DESCRIPCION

AREA

PERIMETRO

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

A=L*L

P=4*L

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

A=B*H

P=2(B+H)

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º

A=D*d2

P=4*L

El romboide es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan en su punto medio

A=B*H

P=2(B+H)

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura.

A=B+bH2

P=A+B+C+b

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.

A=B*H2

P=A+B+C

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.

A=P*a2

P=6*L

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.

A=π*r2

No tiene

CONCLUSION

Definitivamente para poder dominar este programa es necesario explorarlo profundamente ya que tiene diversas herramientas facilitadoras de estilos y diseños que proporcionan una manera fácil de embellecer tu contenido y con esto darle forma estética al mismo.

Con respecto al trabajo del tema de figuras geométricas el alumno podrá obtener una guía muy práctica y concreta del mismo, reafirmando el texto con el formulario proporcionándole al tema mas interés.

BIBLIOGRAFIA

INTERNET

BUSCADOR	PAGINAS
	http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
	http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/areas_perimetros_pitagoras/index.htm

JAZMIN GALEANA VARGAS

peke mate

domingo, 9 de agosto de 2009

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